derivada de (1-25x^2)^2arcsin(5x)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

Para

u1

{(1 - 25 x^{2})}^{2}

v2

\arcsin (5 x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

1 - 25 x^{2}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) - 50 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot x^{2}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) - 50 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) \cdot x^{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

-25 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot (-25 \cdot 2 x) - 50 \cdot (-25 \cdot 2 x) \cdot x^{2}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

25 \cdot 2

(20 + 5) \cdot 2

20 \cdot 2 + 5 \cdot 2

40 + 10

50

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-50 \cdot (-25)

50 \cdot 25

50 \cdot (20 + 5)

50 \cdot 20 + 50 \cdot 5

1000 + 250

1250

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x x^{2}

x^{3}

- 50 \cdot 2 x + 1250 \cdot 2 x^{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

50 \cdot 2

100

1250 \cdot 2

(1000 + 200 + 50) \cdot 2

1000 \cdot 2 + 200 \cdot 2 + 50 \cdot 2

2000 + 400 + 100

2500

- 100 x + 2500 x^{3}

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\arcsin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - f^{2}}}

con f =

5 x

ⓘ La derivada de

\arcsin (x)

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

■La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(5 x)}^{2}

5^{2} \cdot x^{2}

\frac{5}{\sqrt{1 - 5^{2} \cdot x^{2}}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{4 - 1}{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 - 1

3

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

Extraemos

5

, el máximo común divisor de los coeficientes:

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})

Factor encontrado:

500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

▶Derivada:

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})