derivada de (1-cos(x)/(1+cos(x)))

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

Para

p1

\cos (x)

q2

1 + \cos (x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

\frac{d}{d x} (\cos (x))

■La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ Extraemos los signos menos: un número par de signos menos se cancela y un número impar deja un signo menos:

- \cos (x) \cdot (- \sin (x))

\cos (x) \cdot \sin (x)

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\cos (x) - \cos (x)

0

\frac{\sin (x) \cdot (0 + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

▶Derivada:

\frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}