derivada de (2x-x^2/(3x^2+2)) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

Para

p1

x^{2}

q2

3 x^{2} + 2

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - x^{2} \cdot 6 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x^{2} x

x^{3}

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 x^{2} + 2)

- 3 x^{2} - 2

\frac{2 x \cdot (- 3 x^{2} - 2 + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x^{2} + 3 x^{2}

0

\frac{2 x \cdot (0 - 2)}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 2

-2

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-2)

-4

\frac{-4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

▶Derivada:

2 - \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}