derivada de (4-3x/(3x^2+x)) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 + \frac{-3 x}{3 x^{2} + x})

2) Factoricemos en

ℝ

3 x^{2} + x

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (3 x + 1)

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{-3 x}{3 x^{2} + x}

- \frac{3}{3 x + 1}

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

Para

p1

3

q2

3 x + 1

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

3) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (3)

ⓘ La derivada de una constante es nula:

\frac{d}{d x} (3)

0

0

4) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

5) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{0 \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot (3 x + 1)

0

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 3

9

- \frac{0 - 9}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 9

-9

■Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-9}{{(3 x + 1)}^{2}})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

6) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}