derivada de (9x^2+9sqrt(x))/(8x)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x})

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x}

\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x})

Simplificamos la fracción

\frac{\sqrt{x}}{x}

por el factor común

\sqrt{x}

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{1 - \frac{1}{2}}})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{\frac{2 - 1}{2}}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 1

1

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

Para

p1

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

q2

8 \sqrt{x}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

9 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

9 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

ⅰ

9 \cdot \frac{3}{2}

\frac{27}{2}

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

8 \cdot \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8 \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x} - 9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x}

\frac{27 \cdot \sqrt{x} \cdot 8 \cdot \sqrt{x}}{2}

\frac{216 x}{2}

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 4}{\sqrt{x}}

\frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{216 x}{2} - \frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

36 \cdot 2

(30 + 6) \cdot 2

30 \cdot 2 + 6 \cdot 2

60 + 12

72

\frac{\frac{216 x^{1 + \frac{1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 1

3

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Dividir una fracción por

{(8 \sqrt{x})}^{2}

equivale a multiplicar su denominador por

{(8 \sqrt{x})}^{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

■La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(8 \sqrt{x})}^{2}

8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)}{2 \sqrt{x} \cdot 8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

- 72 x^{\frac{3}{2}} - 72

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}} - 72}{2 \sqrt{x} \cdot 64 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}}

144 x^{\frac{3}{2}}

■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{x} x^{\frac{2}{2}}

x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}

ⅰ

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{2}{2}

\frac{1 + 2}{2}

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}