derivada de (((-2x-1)/(-4x+2))^5)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(\frac{- 2 x - 1}{- 4 x + 2})}^{5})

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 2 x - 1

- (2 x + 1)

\frac{d}{d x} ({(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{5})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}) \cdot {(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}) \cdot {(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

Para

p1

2 x + 1

q2

- 4 x + 2

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (2 x + 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (- 4 x + 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- 4 x + 2)

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

-4

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) - (2 x + 1) \cdot (-4)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

ⓘ Extraemos los signos menos: un número par de signos menos se cancela y un número impar deja un signo menos:

- (2 x + 1) \cdot (-4)

4 \cdot (2 x + 1)

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) + 4 \cdot (2 x + 1)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) + 4 \cdot (2 x + 1)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

- \frac{(- 4 x + 2) + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{(- 4 x + 2) + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- (\frac{- 4 x + 2 + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}})

- (\frac{- 2 x + 1 + (2 x + 1)}{{(- 2 x + 1)}^{2}})

- (\frac{- 2 x + 1 + (2 x + 1)}{{(- 2 x + 1)}^{2}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 1

2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x + 2 x

0

- \frac{0 + 2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2

2

- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})

- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

5 \cdot (- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}) \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

5 \cdot (- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}) \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

- \frac{5 \cdot 2 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{2 - 4 x})}^{4}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{2 x + 1}{2 - 4 x})}^{4}

\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

- \frac{10 \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

10 \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

\frac{10 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{10 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}

- \frac{\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Dividir una fracción por

{(1 - 2 x)}^{2}

equivale a multiplicar su denominador por

{(1 - 2 x)}^{2}

- \frac{\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}}

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

{(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}

{(1 - 2 x)}^{6}

▶

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{6}}