derivada de ((x^2-5)^3)/(x^2+2) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

Para

p1

{(x^{2} - 5)}^{3}

q2

x^{2} + 2

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} - 5

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 5)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x^{2} - 5)

- x^{2} + 5

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (x^{2} + 2)

3 x^{2} + 6

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 x^{2} + 6 - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

6 + 5

11

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

3 x^{2} - x^{2}

2 x^{2}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{2 x \cdot (2 x^{2} + 11) \cdot {(5 - x^{2})}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}