derivada de (x^8-2x^4-10x)/(x^4)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{8} - 2 x^{4} - 10 x}{x^{4}})

2) Factoricemos en

ℝ

x^{8} - 2 x^{4} - 10 x

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

Simplificamos la fracción

\frac{x}{x^{4}}

por el factor común

x

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{x^{3}}

\frac{d}{d x} (\frac{x^{7} - 2 x^{3} - 10}{x^{3}})

Para

p1

x^{7} - 2 x^{3} - 10

q2

x^{3}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

3) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

\frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{7})

7 x^{6}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

7 x^{6} - 2 \cdot 3 x^{2}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 3

6

7 x^{6} - 6 x^{2}

4) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x^{3})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2}

5) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(7 x^{6} - 6 x^{2}) \cdot x^{3} - (x^{7} - 2 x^{3} - 10) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{(7 x^{6} - 6 x^{2}) \cdot x^{3} - (x^{7} - 2 x^{3} - 10) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{{(x^{3})}^{2}}

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(x^{3})}^{2}

x^{3 \cdot 2}

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{x^{3 \cdot 2}}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{x^{6}}

Simplificamos la fracción

\frac{x^{2}}{x^{6}}

por el factor común

x^{2}

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{x^{4}}

\frac{x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)}{x^{4}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2})

7 x^{7} - 6 x^{3}

- 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

- (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)

\frac{7 x^{7} - 6 x^{3} - (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)}{x^{4}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)

- 3 x^{7} + 6 x^{3} + 30

\frac{7 x^{7} - 6 x^{3} - 3 x^{7} + 6 x^{3} + 30}{x^{4}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

7 x^{7} - 3 x^{7}

4 x^{7}

- 6 x^{3} + 6 x^{3}

0

\frac{4 x^{7} + 0 + 30}{x^{4}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 30

30

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}

6) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{7} - 2 x^{3} - 10}{x^{3}})

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}

▶Derivada:

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}