derivada de f(x)=(2x^2-x-1)/(2x+2)

Guardamos la definición:

f (x) = \frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2})

Para

p1

2 x^{2} - x - 1

q2

2 x + 2

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (2 x^{2} - x - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x^{2} - x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + 0

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- x) + 0

\frac{d}{d x} (- x)

■La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

2 \cdot 2 x - 1

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

4 x - 1

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(4 x - 1) \cdot (2 x + 2) - (2 x^{2} - x - 1) \cdot 2}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(4 x - 1) \cdot (2 x + 2)

4 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 4 x \cdot 2

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot 2

- (2 x^{2} - x - 1) \cdot 2

- (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)

\frac{4 \cdot x \cdot 2 \cdot x + 4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 - (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

1 \cdot 2 x

2 x

1 \cdot 2

2

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)

- 4 x^{2} + x \cdot 2 + 2

\frac{8 x^{2} + 8 x - 2 x - 2 - 4 x^{2} + x \cdot 2 + 2}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 + 2

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x

+ 0

- 4 x^{2}

+ x \cdot 2

0 - 4 x^{2}

8 x^{2} - 4 x^{2}

4 x^{2}

\frac{4 x^{2} + 8 x + 0}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

8 x + 0

8 x

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4 x^{2} + 8 x}{{(2 x + 2)}^{2}}

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2})

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}