derivada de f(x)=((sqrt(x)-2))/((2x^2+3))

Guardamos la definición:

f (x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

Para

p1

\sqrt{x} - 2

q2

2 x^{2} + 3

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot 2 x

ⅰ

2 \cdot 2

4

4 x

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3)

\frac{1 \cdot (2 x^{2} + 3)}{2 \sqrt{x}}

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}} - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x

\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■Colocamos el signo menos delante del producto:

8 \cdot (- (\sqrt{x} - 2))

-8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 1

3

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Dividir una fracción por

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

equivale a multiplicar su denominador por

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

8 \sqrt{x} - 16

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

- 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\frac{1 + 3}{2}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 3

4

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{4}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x^{2} - 8 x^{2}

-6 x^{2}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{- 6 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}} + 3}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}