derivada de f(x)=(x^2)/(1+4x) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

f (x) = \frac{x^{2}}{1 + 4 x}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

Para

p1

x^{2}

q2

1 + 4 x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

4

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

4 x - 2 x

2 x

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}