derivada de f(x)=(x^2+3)^3(x^3+3)^2

Guardamos la definición:

f (x) = {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

Para

u1

{(x^{2} + 3)}^{3}

v2

{(x^{3} + 3)}^{2}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{2} + 3

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x^{3} + 3

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot x^{3} + 6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

2 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0) \cdot x^{3} + 6 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

2 \cdot 3 x^{2} \cdot x^{3} + 6 \cdot 3 x^{2}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 3

6

6 \cdot 3

18

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x^{2} x^{3}

x^{5}

6 x^{5} + 18 x^{2}

4) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))

ⓘ Como un cuadrado nunca es negativo,

x^{2} + 3

no se anula ni se factoriza en ℝ

▶Derivada:

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))