derivada de f(x)=x^x(ln(x)+1) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

f (x) = x^{x} \cdot (\ln (x) + 1)

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

Para

u1

x^{x}

v2

\ln (x) + 1

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x^{x})

Para derivar en los intervalos donde

x > 0

, escribimos

x^{x}

e^{x \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x})

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

⇥Para

u3

x

v4

\ln (x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u3 \cdot v4) = \frac{d}{d x} (u3) \cdot v4 + u3 \cdot \frac{d}{d x} (v4)

⇥2.1) Derivemos

u3

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥2.2) Derivemos

v4

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥2.3) Evaluamos la derivada obtenida (

u3 \cdot v4

)':

1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

⇥

\ln (x) + 1

⇥2.4) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x))

\ln (x) + 1

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x))

■La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x} \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

x^{x} \cdot \frac{1}{x}

\frac{x^{x} \cdot 1}{x}

\frac{x^{x}}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{x^{x}}{x}

x^{x - 1}

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x - 1}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1)

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

+ x^{x - 1}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\ln (x) \cdot \ln (x)

{\ln (x)}^{2}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x} \cdot \ln (x)

2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

▶Derivada:

x^{x} \cdot {\ln (x)}^{2}

+ 2 x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}