derivada de h(x)=(x^2+4x+1)/(3x+5)

Guardamos la definición:

h (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

Para

p1

x^{2} + 4 x + 1

q2

3 x + 5

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

2 x + 4

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(2 x + 4) \cdot (3 x + 5) - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(2 x + 4) \cdot (3 x + 5)

2 \cdot x \cdot 3 \cdot x

+ 2 x \cdot 5

+ 4 \cdot 3 x

+ 4 \cdot 5

- (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

\frac{2 \cdot x \cdot 3 \cdot x + 2 x \cdot 5 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot 5 - (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 3

6

2 \cdot 5

10

4 \cdot 3

12

4 \cdot 5

20

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

- x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3

\frac{6 x^{2} + 10 x + 12 x + 20 - x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

20 - 3

17

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

12 x

+ 17

- x^{2} \cdot 3

- 12 x

17 - x^{2} \cdot 3

6 x^{2} - x^{2} \cdot 3

3 x^{2}

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}