derivada de ln(1/(1-x)) — solución paso a paso

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{1 - x}

{(1 - x)}^{-1}

Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

{(1 - x)}^{-1}

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot 1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

1 - x

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

Simplificamos la fracción

\frac{1 - x}{{(1 - x)}^{2}}

por el factor común

1 - x

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{1 - x}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x)}{1 - x}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (- x)}{1 - x}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

- (\frac{-1}{1 - x})

ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-1}{1 - x})

\frac{1}{1 - x}

▶Derivada:

\frac{1}{1 - x}