derivada de ln(y/x) — solución paso a paso

La expresión

\ln (\frac{y}{x})

contiene varias variables: elegimos la variable x para la derivación

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

\frac{y}{x}

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

Para

p1

y

q2

x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (y)

ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (y)

0

0

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x - y \cdot 1}{x^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x

0

\frac{0 - y}{x^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - y

- y

- \frac{y}{x^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x})

- \frac{y}{x^{2}}

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

Simplificamos la fracción

\frac{x}{x^{2}}

por el factor común

x

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{x}

▶Derivada:

- \frac{1}{x}