derivada de sin(3x^2cos(2x)) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

3 x^{2} \cdot \cos (2 x)

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

Para

u1

x^{2}

v2

\cos (2 x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

- 2 \cdot \sin (2 x)

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

x^{2} \cdot (-2) \cdot \sin (2 x)

- 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \sin (2 x)

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

Factoricemos en

ℝ

(6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

Extraemos

6

, el máximo común divisor de los coeficientes:

6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x)

6 \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))

Factor encontrado:

\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x)

▶Derivada:

6 x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))