derivada de x^2(3-x) — solución paso a paso

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (3 - x))

Para

u1

x^{2}

v2

3 - x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (3 - x)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

-1

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot (3 - x) + x^{2} \cdot (-1)

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

x^{2} \cdot (-1)

- x^{2}

2 x \cdot (3 - x) - x^{2}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 x \cdot (3 - x)

6 x + 2 \cdot x \cdot (- x)

6 x + 2 \cdot x \cdot (- x) - x^{2}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- x)

-2 x

6 x - 2 \cdot x \cdot x - x^{2}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

6 x - 2 x^{2} - x^{2}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x^{2} - x^{2}

-3 x^{2}

6 x - 3 x^{2}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (3 - x))

6 x - 3 x^{2}

6 x - 3 x^{2}

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (6 - 3 x)

Factoricemos en

ℝ

(6 - 3 x)

Extraemos

3

, el máximo común divisor de los coeficientes:

6 - 3 x

3 \cdot (2 - x)

Factor encontrado:

2 - x

▶Derivada:

3 x \cdot (2 - x)