derivada de y=(3x+4)/(sqrt(2x-1))

Guardamos la definición:

y = \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

Para

p1

3 x + 4

q2

\sqrt{2 x - 1}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

con f =

2 x - 1

ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1)}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) + 0}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

(3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{(3 x + 4) \cdot 1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 x + 4)

- 3 x - 4

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1}

2 x - 1

■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{1}}

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

ⓘ Dividir una fracción por

2 x - 1

equivale a multiplicar su denominador por

2 x - 1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)}

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (2 x - 1)

6 x - 3

\frac{6 x - 3 - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 - 4

-7

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

6 x - 3 x

3 x

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}