derivada de y=(5x-2)/(sqrt(x)) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

y = \frac{5 x - 2}{\sqrt{x}}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

Para

p1

5 x - 2

q2

\sqrt{x}

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

5

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{5 \sqrt{x} - (5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

(5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{(5 x - 2) \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

5 \sqrt{x} - \frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (5 x - 2)

- 5 x + 2

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 2

10

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

x

■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{10 x - 5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x^{1}}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

10 x - 5 x

5 x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

ⓘ Dividir una fracción por

x

equivale a multiplicar su denominador por

x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\sqrt{x} x

x^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 2

3

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}