derivada de y=(7ln(x))/(3x+4) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

y = \frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4}

1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

Para

p1

7 \cdot \ln (x)

q2

3 x + 4

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

7 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x))

■La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

7 \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

7 \cdot \frac{1}{x}

\frac{7 \cdot 1}{x}

\frac{7}{x}

\frac{7}{x}

3) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4) - 7 \cdot \ln (x) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4)

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

7 \cdot 3

21

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x} - 21 \cdot \ln (x)

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Dividir una fracción por

{(3 x + 4)}^{2}

equivale a multiplicar su denominador por

{(3 x + 4)}^{2}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

7 \cdot (3 x + 4)

21 x + 28

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{- 21 x \cdot \ln (x) + 21 x + 28}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}