derivada de y= 1/(sqrt(a^2-x^2)) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

La expresión

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

contiene varias variables: elegimos la variable x para la derivación

Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

{(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

a^{2} - x^{2}

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})

\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (a^{2})

0

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

- \frac{0 - 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 2 x

- 2 x

■Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{- 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}