derivada implícita (dy)/(dx),x^6-5xy^3=9xy

⚠ xy se interpreta como el producto x*y: para la variable xy, escribe xy_

1) Para

x^{6} - 5 x y^{3} = 9 x y

, consideramos y como una función derivable de x y derivamos ambos miembros

Hacemos F(x, y) =

x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y

. La regla de la cadena da

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos respecto a x manteniendo y constante

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{6})

6 x^{5}

■Al derivar respecto a

x

-5 y^{3}

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 5 x y^{3})

-5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)

■Al derivar respecto a

x

-9 y

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 9 x y)

-9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) - 9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot 1 - 9 y \cdot 1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

Para Fy, derivamos respecto a y manteniendo x constante

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥ⓘ La derivada de una constante es nula:

\frac{d}{d y} (x^{6})

0

■Al derivar respecto a

y

-5 x

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (- 5 x y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■Al derivar respecto a

y

-9 x

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (- 9 x y)

-9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3}) - 9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■La derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{3})

3 y^{2}

■La derivada de

y

1

\frac{d}{d y} (y)

1

⇥

- 5 x \cdot 3 y^{2} - 9 x \cdot 1

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 3

15

⇥

- 15 x y^{2} - 9 x

Las derivadas parciales son Fx =

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

y Fy =

- 15 x y^{2} - 9 x

- 15 x y^{2} - 9 x \neq 0

, despejamos la derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condición se evalúa en la curva original

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- 15 x y^{2} - 9 x}

⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 15 x y^{2} - 9 x

- (15 x y^{2} + 9 x)

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

⇥

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}