derivada implícita de x^2+y^2=1 — solución paso a paso

1) Para

x^{2} + y^{2} = 1

, consideramos y como una función derivable de x y derivamos ambos miembros

Hacemos F(x, y) =

x^{2} + y^{2} - 1

. La regla de la cadena da

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos respecto a x manteniendo y constante

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (y^{2})

■La derivada de una constante es nula:

\frac{d}{d x} (y^{2})

0

⇥

2 x + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

2 x + 0

2 x

⇥

2 x

Para Fy, derivamos respecto a y manteniendo x constante

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ La derivada de una constante es nula:

\frac{d}{d y} (x^{2})

0

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d y} (y^{2})

■La derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

⇥

0 + 2 y

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 y

2 y

⇥

2 y

Las derivadas parciales son Fx =

2 x

y Fy =

2 y

2 y \neq 0

, despejamos la derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condición se evalúa en la curva original

⇥

- \frac{2 x}{2 y}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 x}{2 y}

- \frac{x}{y}

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

- \frac{x}{y}