derivada implícita xy+4y=10 — solución paso a paso

⚠ xy se interpreta como el producto x*y: para la variable xy, escribe xy_

1) Para

x y + 4 y = 10

, consideramos y como una función derivable de x y derivamos ambos miembros

Hacemos F(x, y) =

x y + 4 y - 10

. La regla de la cadena da

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos respecto a x manteniendo y constante

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x y + 4 y - 10)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x y + 4 y - 10)

\frac{d}{d x} (x y) + \frac{d}{d x} (4 y) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x y) + \frac{d}{d x} (4 y) + 0

⇥ⓘ Al derivar respecto a

x

y

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (x y)

y \cdot \frac{d}{d x} (x)

y \cdot 1

y

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (4 y) + 0

\frac{d}{d x} (4 y)

■La derivada de una constante es nula:

\frac{d}{d x} (4 y)

0

⇥

y + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

y + 0

y

⇥

y

Para Fy, derivamos respecto a y manteniendo x constante

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d y} (x y + 4 y - 10)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d y} (x y + 4 y - 10)

\frac{d}{d y} (x y) + \frac{d}{d y} (4 y) + 0

⇥

\frac{d}{d y} (x y) + \frac{d}{d y} (4 y) + 0

⇥ⓘ Al derivar respecto a

y

x

se considera constante. Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (x y)

x \cdot \frac{d}{d y} (y)

x \cdot 1

x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d y} (4 y) + 0

\frac{d}{d y} (4 y)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (4 y)

4

⇥

x + 4

Las derivadas parciales son Fx =

y

y Fy =

x + 4

x + 4 \neq 0

, despejamos la derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condición se evalúa en la curva original

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

- \frac{y}{x + 4}