derivada parcial de ln(x*y/z) respecto a z

1) Derivamos respecto a

z

; las demás variables (

x

y

) se consideran constantes

Derivemos:

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (x \cdot \frac{y}{z}))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (f)) = \frac{\partial}{\partial z} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

\frac{x y}{z}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

x \cdot \frac{y}{z}

\frac{x y}{z}

■La derivada de

\ln (z)

\frac{1}{z}

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (\frac{x y}{z}))

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z}) \cdot \frac{1}{\frac{x y}{z}}

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z}) \cdot \frac{1}{\frac{x y}{z}}

Para

p1

x y

q2

z

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{\partial}{\partial z} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{\partial}{\partial z} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Derivemos

p1

\frac{\partial}{\partial z} (x y)

ⓘ La derivada de una constante es nula:

\frac{\partial}{\partial z} (x y)

0

0

3) Derivemos

q2

\frac{\partial}{\partial z} (z)

ⓘ La derivada de

z

1

\frac{\partial}{\partial z} (z)

1

1

4) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot z - x y \cdot 1}{z^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot z

0

\frac{0 - x y}{z^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - x y

- x y

- \frac{x y}{z^{2}}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z})

- \frac{x y}{z^{2}}

- \frac{\frac{x y}{z^{2}}}{\frac{x y}{z}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\frac{x y}{z^{2}}}{\frac{x y}{z}}

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

- \frac{x y z}{z^{2} x y}

- \frac{x y z}{z^{2} x y}

Simplificamos la fracción

\frac{z}{z^{2}}

por el factor común

z

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{z}

▶Derivada:

- \frac{1}{z}