desarrolla (2x+1)^3 — solución paso a paso

Desarrollemos:

{(2 x + 1)}^{3}

Utilizando la fórmula del binomio de Newton:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, desarrollamos la expresión matemática:

ⅰ

{(2 x + 1)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

ⓘ Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

1^{0}

1

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1. En este cálculo, adoptamos la convención

0^{0} = 1

{(2 x)}^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 2 x

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!}

ⓘ El factorial de un entero estrictamente positivo es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese entero:

3!

6

2!

2

1!

1

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

6 \cdot 1

6

2 \cdot 1

2

1 \cdot 2

2

1 \cdot 6

6

\frac{6}{6} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{6}{2} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{6}{2} \cdot 2 x

+ \frac{6}{6}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

\frac{6}{6}

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot {(2 x)}^{3}

{(2 x)}^{3}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

\frac{6}{2} \cdot 2

6

{(2 x)}^{3}

+ 3 \cdot {(2 x)}^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(2 x)}^{3}

2^{3} \cdot x^{3}

{(2 x)}^{2}

2^{2} \cdot x^{2}

2^{3} \cdot x^{3}

+ 3 \cdot 2^{2} \cdot x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

8 x^{3}

+ 3 \cdot 4 x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

▶Forma desarrollada:

8 x^{3}

+ 12 x^{2}

+ 6 x

+ 1