dominio de definición de (x^3+7x^2+12x)/(x^3+x^2-2x)

1) Determinemos el dominio de

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}{x^{3} + x^{2} - 2 x}

Para que la expresión

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}{x^{3} + x^{2} - 2 x}

esté definida, debe cumplirse:

x^{3} + x^{2} - 2 x \neq 0

Podemos factorizar la expresión

x^{3} + x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x^{2} + x - 2)

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x \neq 0

⇥Solución obtenida:

x \neq 0

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + x - 2 \neq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 1

c = -2

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 - 3

-4

⇥

x_{1} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{1} = -2