dominio de definición de f(x)=(x^3-x)/(x^3-x^2-2x)

Guardamos la definición:

f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

1) Determinemos el dominio de

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

Para que la expresión

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

esté definida, debe cumplirse:

x^{3} - x^{2} - 2 x \neq 0

Podemos factorizar la expresión

x^{3} - x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x^{2} - x - 2)

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x \neq 0

⇥Solución obtenida:

x \neq 0

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - x - 2 \neq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1