dominio de definición de f(x)=sqrt((x^2-5x+4)/(3-x))

Guardamos la definición:

f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

1) Busquemos el dominio de

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

Para que la expresión

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

esté definida, debe cumplirse:

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

Para que la expresión

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}

esté definida, debe cumplirse:

3 - x \neq 0

2) Resolvamos en

ℝ

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

x^{2} - 5 x + 4

resolviendo en

ℝ

x^{2} - 5 x + 4 \geq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -5

c = 4

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 4

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

Δ = 25 - 16

ⓘ Partimos de

25

y retrocedemos

16

en la recta numérica:

25 - 16

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{1} = \frac{5 - 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 - 3

2

x_{1} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

x_{1} = 1

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{2} = \frac{5 + 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 + 3

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

El trinomio tiene el signo de a (

1

) fuera de sus raíces, por lo que es positivo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

Solución obtenida:

x \in] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

⇥Por tanto, la expresión

x^{2} - 5 x + 4

es positiva o nula en

] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

y negativa en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

3 - x

se anula en:

⇥

x = 3

⇥Como su coeficiente de

x

-1

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

3

(valor excluido)

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$x^{2} - 5 x + 4$		+	0	-		-	0	+
$3 - x$		+		+	0	-		-
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}$		+	0	-	❌	+	0	-

Solución encontrada:

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]

4) Resolvamos en

ℝ

3 - x \neq 0

ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

3 \neq x

Solución obtenida:

x \neq 3

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌
$3 - x \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅	✅	✅
Dominio de definición:		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌

▶Dominio de definición:

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]