dominio de definición de sqrt(-x^3-x^2+16x+16)

1) Determinemos el dominio de

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

Para que la expresión

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

esté definida, debe cumplirse:

- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16 \geq 0

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = -1

⇥Calculemos el valor de:

- {(-1)}^{3}

- {(-1)}^{2}

+ 16 \cdot (-1)

+ 16

⇥ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

16 \cdot (-1)

-16

⇥

- (-1)

- 1

- 16

+ 16

⇥ⓘ Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto: dos signos menos dan un más:

- (-1)

1

■Partimos de

-16

y avanzamos

16

en la recta numérica, hasta el cero:

- 16 + 16

0

⇥

1 - 1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- 1 + 0

-1

■Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

⇥Solución encontrada:

x = -1

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16)

entre

(x + 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$	$- \frac{x^{3}}{x}$	$- x^{2}$	$- x^{2} \cdot (x + 1) = - x^{3} - x^{2}$	$(- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16) - (- x^{3} - x^{2}) = 16 x + 16$
$16 x + 16$	$\frac{16 x}{x}$	$16$	$16 \cdot (x + 1) = 16 x + 16$	$(16 x + 16) - (16 x + 16) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

- x^{2} + 16

(x + 1) \cdot (16 - x^{2})

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥La expresión

x + 1

se anula en

x = -1

y es negativa antes y positiva después

⇥1.3) Estudiemos el signo de

16 - x^{2}

resolviendo en

ℝ

16 - x^{2} \geq 0

⇥Dividimos ambos miembros por

-1

, que es negativo, por lo que invertimos el sentido de la desigualdad

⇥Una potencia par solo depende del valor absoluto:

x^{2} \leq 16

equivale a

| x | \leq 4

⇥

| A | \leq B

equivale a

- B \leq A \leq B

⇥

-4 \leq x \leq 4

⇥Solución encontrada:

x \in [-4; 4]

⇥Por tanto, la expresión

16 - x^{2}

es positiva o nula en

[-4; 4]

y negativa en los demás puntos

2) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-4$		$-1$		$4$		$+∞$
$x + 1$		-		-	0	+		+
$16 - x^{2}$		-	0	+		+	0	-
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$		+	0	-	0	+	0	-

▶Dominio de definición:

x \in] -∞; -4] \cup [-1; 4]