dominio de f(x)=ln(1/x-1/(1-x)) — solución paso a paso

Guardamos la definición:

f (x) = \ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

1) Busquemos el dominio de

\ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

Para que la expresión

\ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

esté definida, debe cumplirse:

\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x} > 0

Para que la expresión

\frac{1}{x}

esté definida, debe cumplirse:

x \neq 0

Para que la expresión

- \frac{1}{1 - x}

esté definida, debe cumplirse:

1 - x \neq 0

2) Resolvamos en

ℝ

\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x} > 0

3) Sumemos las fracciones:

\frac{1}{x} + \frac{1}{- 1 + x} > 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{x} + \frac{1}{- 1 + x}

\frac{(- 1 + x) + x}{x \cdot (- 1 + x)}

\frac{(- 1 + x) + x}{x \cdot (- 1 + x)} > 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

\frac{- 1 + 2 x}{x \cdot (- 1 + x)} > 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥La expresión

- 1 + 2 x

se anula en:

⇥

x = \frac{1}{2}

⇥Como su coeficiente de

x

2

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

\frac{1}{2}

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

Resolvamos en

ℝ

x \cdot (- 1 + x) > 0

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥La expresión

- 1 + x

se anula en

x = 1

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

4) Construyamos la tabla de signos:

Solución obtenida:

x \in] 0; \frac{1}{2} [\cup] 1; +∞ [

5) Resolvamos en

ℝ

1 - x \neq 0

ⓘ Sumamos

x

a ambos miembros

1 \neq x

Solución obtenida:

x \neq 1

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

▶Dominio de definición:

x \in] 0; \frac{1}{2} [\cup] 1; +∞ [