e^x - e^(-x) = 1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

e^{x} - e^{- x} = 1

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

e^{- x}

\frac{1}{e^{x}}

e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = 1

Multiplicamos ambos miembros por

e^{x}

, estrictamente positivo

e^{x} \cdot e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x} = e^{x}

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

e^{x} \cdot e^{x}

e^{x + x}

■Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x}

\frac{1 \cdot e^{x}}{e^{x}}

\frac{e^{x}}{e^{x}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{e^{x}}{e^{x}}

-1

e^{x + x} - 1 = e^{x}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

e^{2 x} - 1 = e^{x}

Hagamos:

X = e^{x}

Podemos transformar la expresión en:

X^{2} - X - 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -1

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-1)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 1 + 4

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

4

en la recta numérica:

1 + 4

5

Δ = 5

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

La fórmula de segundo grado da

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Soluciones encontradas:

X = {\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

2) Resolvamos para x:

X = e^{x}

donde

X = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

En ℝ, la función exponencial es estrictamente positiva:

e^{x} > 0

, mientras que

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

\approx -0,6180

es negativo, por lo que

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

no tiene solución

Solución:

x \in \emptyset

3) Resolvamos para x:

X = e^{x}

donde

X = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Podemos aplicar la función ln a ambos miembros:

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

\ln (e^{x})

x

▶Solución obtenida:

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

4) El valor numérico de:

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

vale:

x = \ln (\frac{1 + \approx 2,2361}{2})

x = \ln (\frac{\approx 3,2361}{2})

x = \ln (\approx 1,6180)

▷

x = \approx 0,4812