extremos de 4x(x^2-9) — solución paso a paso

Busquemos los extremos locales estrictos de

4 x \cdot (x^{2} - 9)

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 36

⇥Resolvamos en

ℝ

12 x^{2} - 36 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

12

⇥

x^{2} = 3

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

3

son

- \sqrt{3}

\sqrt{3}

⇥Soluciones obtenidas:

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-2) = 12

> 0:

f

es creciente en

] -∞; - \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (0) = -36

< 0:

f

es decreciente en

] - \sqrt{3}; \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (2) = 12

> 0:

f

es creciente en

] \sqrt{3}; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

⇥

f (- \sqrt{3}) = 4 \cdot (- \sqrt{3}) \cdot ({(- \sqrt{3})}^{2} - 9) = 24 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (\sqrt{3}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot ({(\sqrt{3})}^{2} - 9) = - 24 \cdot \sqrt{3}

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; - \sqrt{3}]

, decreciente en

[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]

y creciente en

[\sqrt{3}; +∞ [

x = - \sqrt{3}

f

' pasa de + a -:

f

tiene un máximo local estricto,

f (- \sqrt{3}) = 24 \cdot \sqrt{3}

x = \sqrt{3}

f

' pasa de - a +:

f

tiene un mínimo local estricto,

f (\sqrt{3}) = - 24 \cdot \sqrt{3}

▶Extremos locales estrictos:

{(- \sqrt{3}; 24 \cdot \sqrt{3}); (\sqrt{3}; - 24 \cdot \sqrt{3})}