extremos de 60x^2-20x^3 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

60 x^{2} - 20 x^{3}

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

-20 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 2 x - 20 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 2

120

20 \cdot 3

60

⇥

120 x - 60 x^{2}

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (120 - 60 x)

⇥Factoricemos en

ℝ

(120 - 60 x)

⇥Extraemos

60

, el máximo común divisor de los coeficientes:

120 - 60 x

60 \cdot (2 - x)

⇥Factor encontrado:

2 - x

⇥La primera derivada es

60 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

60 x \cdot (2 - x) = 0

⇥Simplificamos la expresión por

60

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

2 - x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 2

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Para

u1

x

v2

2 - x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.4) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.5) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.6) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.7) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

60 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

60 \cdot (2 - 2 x)

120 - 120 x

⇥

120 - 120 x

⇥Extraemos

120

, el máximo común divisor de los coeficientes:

120 - 120 x

120 \cdot (1 - x)

⇥Factor encontrado:

1 - x

⇥La segunda derivada es

120 \cdot (1 - x)

2) En

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 120 \cdot (1 + 0) = 120

x = 0

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

60 \cdot 0^{2} - 20 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

60 \cdot 0

0

-20 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

0

La ordenada es f(

0

) =

0

3) En

x = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 120 \cdot (1 - 2) = -120

x = 2

, la segunda derivada es negativa: es un máximo local estricto

⇥

60 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2^{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

⇥

60 \cdot 4 - 20 \cdot 8

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 4

240

20 \cdot 8

160

⇥

240 - 160

⇥ⓘ Partimos de

240

y retrocedemos

160

en la recta numérica:

240 - 160

80

⇥

80

La ordenada es f(

2

) =

80

Este polinomio de grado impar no está acotado ni superior ni inferiormente en ℝ: no tiene ningún extremo global

▶Extremos locales estrictos:

{(0; 0); (2; 80)}