extremos de f(x)=5x^2+6x-7 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

5 x^{2} + 6 x - 7

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{2})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (6 x)

6

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

⇥

5 \cdot 2 x + 6

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 2

10

⇥

10 x + 6

⇥La primera derivada es

10 x + 6

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

10 x + 6 = 0

⇥ⓘ Restamos

6

a ambos miembros

⇥

10 x = -6

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

10

⇥

x = - \frac{6}{10}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{10}

- \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

- \frac{3}{5}

⇥Solución encontrada:

x = - \frac{3}{5}

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

\frac{d}{d x} (10 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

10

⇥La segunda derivada es

10

2) En

x = - \frac{3}{5}

, calculamos

f^{''} (- \frac{3}{5}) = 10

x = - \frac{3}{5}

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + 6 \cdot (- \frac{3}{5}) - 7

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

6 \cdot (- \frac{3}{5})

- 6 \cdot \frac{3}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - 6 \cdot \frac{3}{5} - 7

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

6 \cdot \frac{3}{5}

\frac{6 \cdot 3}{5}

\frac{18}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{18}{5} - 7

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{18}{5} - 7

\frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

7 \cdot 5

35

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 35}{5}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 18 - 35

-53

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(- \frac{3}{5})}^{2}

\frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}}

⇥

5 \cdot \frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

5 \cdot \frac{9}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

5 \cdot \frac{9}{25}

\frac{5 \cdot 9}{25}

\frac{45}{25}

⇥

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

25

, el mínimo común múltiplo de

25

5

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

\frac{45}{25} + \frac{-53 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

53 \cdot 5

(50 + 3) \cdot 5

50 \cdot 5 + 3 \cdot 5

250 + 15

265

⇥

\frac{45 - 265}{25}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

45 - 265

-220

⇥

- \frac{220}{25}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

5

, su máximo común divisor:

- \frac{220}{25}

- \frac{44 \cdot 5}{5 \cdot 5}

- \frac{44}{5}

⇥

- \frac{44}{5}

La ordenada es f(

- \frac{3}{5}

) =

- \frac{44}{5}

▶Extremos locales estrictos:

{(- \frac{3}{5}; - \frac{44}{5})}