extremos de f(x)=((x^2-1))/(x^2+1)

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥Resolvamos en

ℝ

\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

4 x = 0

⇥⇥Simplificamos la expresión por

4

⇥⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Solución obtenida:

x = 0

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(x^{2} + 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} + 1)}^{2} \neq 0

implica:

x^{2} + 1 \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq -1

⇥⇥En ℝ, un cuadrado nunca es negativo: ningún número real tiene

-1

como cuadrado

⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = 0

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-1) = -1

< 0:

f

es decreciente en

] -∞; 0 [

⇥

f^{'} (1) = 1

> 0:

f

es creciente en

] 0; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

1

⇥

f (0) = \frac{0^{2} - 1}{0^{2} + 1} = -1

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

1

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es decreciente en

] -∞; 0]

y creciente en

[0; +∞ [

x = 0

f

' pasa de - a +:

f

tiene un mínimo local estricto,

f (0) = -1

▶Extremos locales estrictos:

{(0; -1)}