extremos de f(x)=(e^x)/(5+e^x) — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

\frac{e^{x}}{5 + e^{x}}

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}}

⇥Resolvamos en

ℝ

\frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

5 e^{x} = 0

⇥⇥Simplificamos la expresión por

5

⇥⇥⇥Resolvamos en

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥⇥En ℝ, la función exponencial es estrictamente positiva:

e^{x} > 0

, por lo que

e^{x} = 0

no tiene solución

⇥⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

⇥⇥De

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

deducimos:

e^{x} + 5 \neq 0

⇥⇥

e^{x} \neq -5

⇥⇥En ℝ, la función exponencial es estrictamente positiva:

e^{x} > 0

, por lo que

e^{x} \neq -5

se cumple para todo

x

⇥⇥Solución obtenida:

x \in ℝ

⇥

f^{'} (x)

no se anula en el dominio de

f

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (0) = \frac{5}{36}

> 0:

f

es creciente en

ℝ

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

0

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

1

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

⇥Por tanto,

f

es creciente en

ℝ

La derivada no cambia de signo en ningún punto del dominio: no hay extremos locales estrictos

▶Extremos locales estrictos:

\emptyset