extremos de f(x)=(x^2+x+1)/x — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

\frac{x^{2} + x + 1}{x}

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

⇥Resolvamos en

ℝ

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 1 = 0

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = {-1; 1}

⇥⇥1.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x^{2} \neq 0

⇥⇥De

x^{2} \neq 0

deducimos:

x \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 0

⇥ Para que la expresión

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} \neq 0

⇥Restricciones del dominio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = {-1; 1}

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-2) = \frac{3}{4}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = -3

< 0:

f

es decreciente en

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -3

< 0:

f

es decreciente en

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = \frac{3}{4}

> 0:

f

es creciente en

] 1; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

⇥

f (-1) = \frac{{(-1)}^{2} - 1 + 1}{-1} = -1

⇥Cuando

x

se acerca a

0

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

⇥

f (1) = \frac{1^{2} + 1 + 1}{1} = 3

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$3$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; -1]

, decreciente en

[-1; 0 [

y en

] 0; 1]

y creciente en

[1; +∞ [

x = -1

f

' pasa de + a -:

f

tiene un máximo local estricto,

f (-1) = -1

x = 1

f

' pasa de - a +:

f

tiene un mínimo local estricto,

f (1) = 3

▶Extremos locales estrictos:

{(-1; -1); (1; 3)}