extremos de f(x)=(x^3)/3-2x^2+4x+3

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

\frac{x^{3}}{3}

- 2 x^{2}

+ 4 x

+ 3

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

. La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

⇥

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

\frac{1}{3} \cdot 3

1

2 \cdot 2

4

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot x^{2}

x^{2}

⇥

x^{2} - 4 x + 4

⇥La primera derivada es

x^{2} - 4 x + 4

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 4 x + 4 = 0

⇥Podemos transformar la expresión en:

{(x - 2)}^{2}

⇥

{(x - 2)}^{2} = 0

implica:

x - 2 = 0

⇥ⓘ Sumamos

2

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x = 2

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

2 x - 4

⇥La segunda derivada es

2 x - 4

2) En

x = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0

x = 2

, el cero de la derivada es de orden par: no cambia de signo, por lo que no es un extremo

Este polinomio de grado impar no está acotado ni superior ni inferiormente en ℝ: no tiene ningún extremo global

▶Extremos locales estrictos:

\emptyset