extremos de f(x)=-2x^2-12x-16 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

- 2 x^{2} - 12 x - 16

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 2 \cdot 2 x - 12

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

⇥

- 4 x - 12

⇥La primera derivada es

- 4 x - 12

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

- 4 x - 12 = 0

⇥ⓘ Sumamos

4 x

a ambos miembros

⇥

-12 = 4 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥

x = - \frac{12}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{12}{4}

-3

⇥Solución obtenida:

x = -3

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

-4

⇥La segunda derivada es

-4

2) En

x = -3

, calculamos

f^{''} (-3) = -4

x = -3

, la segunda derivada es negativa: es un máximo local estricto

⇥

- 2 \cdot {(-3)}^{2} - 12 \cdot (-3) - 16

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-12 \cdot (-3)

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 2 \cdot 9 + 36 - 16

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 9

18

■Partimos de

36

y retrocedemos

16

en la recta numérica:

36 - 16

20

⇥

- 18 + 20

⇥ⓘ Partimos de

-18

y avanzamos

20

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 18 + 20

2

⇥

2

La ordenada es f(

-3

) =

2

▶Extremos locales estrictos:

{(-3; 2)}