extremos de f(x)=x^2e^x-4 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{2} e^{x} - 4

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = e^{x} x \cdot (x + 2)

⇥Resolvamos en

ℝ

e^{x} x \cdot (x + 2) = 0

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥En ℝ, la función exponencial es estrictamente positiva:

e^{x} > 0

, por lo que

e^{x} = 0

no tiene solución

⇥⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

x + 2 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = -2

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = {-2; 0}

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-3) = \frac{3}{e^{3}}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; -2 [

⇥

f^{'} (-1) = - \frac{1}{e}

< 0:

f

es decreciente en

] -2; 0 [

⇥

f^{'} (1) = e \cdot 3

> 0:

f

es creciente en

] 0; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-4

⇥

f (-2) = {(-2)}^{2} \cdot e^{-2} - 4 = \frac{4}{e^{2}} - 4

⇥

f (0) = 0^{2} \cdot e^{0} - 4 = -4

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$-2$		$0$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	$0$	+
$f (x)$	$-4$	↗	$\frac{4}{e^{2}} - 4$	↘	$-4$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; -2]

, decreciente en

[-2; 0]

y creciente en

[0; +∞ [

x = -2

f

' pasa de + a -:

f

tiene un máximo local estricto,

f (-2) = \frac{4}{e^{2}} - 4

x = 0

f

' pasa de - a +:

f

tiene un mínimo local estricto,

f (0) = -4

▶Extremos locales estrictos:

{(-2; \frac{4}{e^{2}} - 4); (0; -4)}