extremos de f(x)=x^3-12x+2 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{3} - 12 x + 2

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x + 2)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x + 2)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

⇥

3 x^{2} - 12

⇥La primera derivada es

3 x^{2} - 12

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} - 12 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥

x^{2} = 4

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

4

son

-2

2

⇥Soluciones encontradas:

x = {-2; 2}

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 12)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 12)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

3 \cdot 2 x

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

6 x

⇥La segunda derivada es

6 x

2) En

x = -2

, calculamos

f^{''} (-2) = 6 \cdot (-2) = -12

x = -2

, la segunda derivada es negativa: es un máximo local estricto

⇥

{(-2)}^{3} - 12 \cdot (-2) + 2

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

- 8 + 24 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-8

y avanzamos

24

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 8 + 24

16

⇥

16 + 2

⇥ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

2

en la recta numérica:

16 + 2

18

⇥

18

La ordenada es f(

-2

) =

18

3) En

x = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 6 \cdot 2 = 12

x = 2

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

2^{3} - 12 \cdot 2 + 2

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

8 - 24 + 2

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

24

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-16

y avanzamos

2

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 16 + 2

-14

⇥

-14

La ordenada es f(

2

) =

-14

Este polinomio de grado impar no está acotado ni superior ni inferiormente en ℝ: no tiene ningún extremo global

▶Extremos locales estrictos:

{(-2; 18); (2; -14)}