extremos de -x^2+2x+3 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

- x^{2} + 2 x + 3

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

- 2 x + 2

⇥La primera derivada es

2 - 2 x

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

2 - 2 x = 0

⇥ⓘ Sumamos

2 x

a ambos miembros

⇥

2 = 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥Solución obtenida:

x = 1

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

\frac{d}{d x} (- 2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x)

-2

⇥

-2

⇥La segunda derivada es

-2

2) En

x = 1

, calculamos

f^{''} (1) = -2

x = 1

, la segunda derivada es negativa: es un máximo local estricto

⇥

- 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3

⇥

- 1 + 2 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

2

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 2

1

⇥

1 + 3

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

3

en la recta numérica:

1 + 3

4

⇥

4

La ordenada es f(

1

) =

4

▶Extremos locales estrictos:

{(1; 4)}