extremos de x^2+2x+3 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{2} + 2 x + 3

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 x + 2

⇥La primera derivada es

2 x + 2

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

2 x + 2 = 0

⇥ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

⇥

2 x = -2

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥Solución obtenida:

x = -1

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2

⇥La segunda derivada es

2

2) En

x = -1

, calculamos

f^{''} (-1) = 2

x = -1

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

{(-1)}^{2} + 2 \cdot (-1) + 3

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

1 - 2 + 3

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

2

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 2

-1

⇥

- 1 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

3

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 3

2

⇥

2

La ordenada es f(

-1

) =

2

▶Extremos locales estrictos:

{(-1; 2)}