extremos de x^4-2x^2 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{4} - 2 x^{2}

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 2 \cdot 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

⇥

4 x^{3} - 4 x

⇥La primera derivada es

4 x^{3} - 4 x

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

4 x^{3} - 4 x = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

4 x^{3} - 4 x

como

x \cdot (4 x^{2} - 4)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

4 x^{2} - 4 = 0

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥⇥Soluciones obtenidas:

x = {-1; 1}

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 4

⇥La segunda derivada es

12 x^{2} - 4

2) En

x = -1

, calculamos

f^{''} (-1) = 12 \cdot {(-1)}^{2} - 4 = 8

x = -1

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

{(-1)}^{4} - 2 \cdot {(-1)}^{2}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

2 \cdot 1

2

⇥

1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

2

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 2

-1

⇥

-1

La ordenada es f(

-1

) =

-1

3) En

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} - 4 = -4

x = 0

, la segunda derivada es negativa: es un máximo local estricto

⇥

0^{4} - 2 \cdot 0^{2}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

-2 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

0

La ordenada es f(

0

) =

0

4) En

x = 1

, calculamos

f^{''} (1) = 12 \cdot 1^{2} - 4 = 8

x = 1

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

1^{4} - 2 \cdot 1^{2}

⇥

1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

2

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 2

-1

⇥

-1

La ordenada es f(

1

) =

-1

▶Extremos locales estrictos:

{(-1; -1); (0; 0); (1; -1)}