extremos de x^4 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{4}

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{4})

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

⇥

4 x^{3}

⇥La primera derivada es

4 x^{3}

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

4 x^{3} = 0

⇥Simplificamos la expresión por

4

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x^{3} = 0

⇥⇥

x^{3} = 0

implica:

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2}

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2}

⇥La segunda derivada es

12 x^{2}

2) En

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} = 0

La primera derivada no nula en este punto es de orden 4 y vale

24

La primera derivada no nula es de orden par y positiva: es un mínimo local estricto

⇥

0^{4}

⇥

0

La ordenada es f(

0

) =

0

El polinomio tiende a +∞ en ambos infinitos: este único extremo local también es global

▶Extremos locales estrictos:

{(0; 0)}