extremos f(x)=x^4-4x^3+9 — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x^{4} - 4 x^{3} + 9

en ℝ: la derivada debe anularse y cambiar de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 4 x^{3} + 9)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 4 x^{3} + 9)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

-4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

⇥

4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

4 x^{3} - 12 x^{2}

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x^{2} \cdot (4 x - 12)

⇥Factoricemos en

ℝ

(4 x - 12)

⇥Extraemos

4

, el máximo común divisor de los coeficientes:

4 x - 12

4 \cdot (x - 3)

⇥Factor encontrado:

x - 3

⇥La primera derivada es

4 x^{2} \cdot (x - 3)

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

4 x^{2} \cdot (x - 3) = 0

⇥Simplificamos la expresión por

4

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x^{2} = 0

⇥⇥De

x^{2} = 0

deducimos:

x = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 0

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

x - 3 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 3

⇥1.3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 x^{2} \cdot (x - 3))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{2} \cdot (x - 3))

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

⇥

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

⇥Para

u1

x^{2}

v2

x - 3

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.4) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥1.5) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (x - 3)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 3)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥1.6) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot (x - 3) + x^{2} \cdot 1

⇥

2 x \cdot (x - 3) + x^{2}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 x \cdot (x - 3)

2 x^{2} - 6 x

⇥

2 x^{2} - 6 x + x^{2}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x^{2} + x^{2}

3 x^{2}

⇥

3 x^{2} - 6 x

⇥1.7) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

3 x^{2} - 6 x

⇥

4 \cdot (3 x^{2} - 6 x)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

4 \cdot (3 x^{2} - 6 x)

12 x^{2} - 24 x

⇥

12 x^{2} - 24 x

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (12 x - 24)

⇥Factoricemos en

ℝ

(12 x - 24)

⇥Extraemos

12

, el máximo común divisor de los coeficientes:

12 x - 24

12 \cdot (x - 2)

⇥Factor encontrado:

x - 2

⇥La segunda derivada es

12 x \cdot (x - 2)

2) En

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 12 \cdot 0 \cdot (0 - 2) = 0

La primera derivada no nula en este punto es de orden 3 y vale

-24

x = 0

, el cero de la derivada es de orden par: no cambia de signo, por lo que no es un extremo

3) En

x = 3

, calculamos

f^{''} (3) = 12 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 36

x = 3

, la segunda derivada es positiva: es un mínimo local estricto

⇥

3^{4} - 4 \cdot 3^{3} + 9

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{4}

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

81

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

⇥

81 - 4 \cdot 27 + 9

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 27

4 \cdot (20 + 7)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 7

80 + 28

108

⇥

81 - 108 + 9

⇥ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

108

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

81 - 108

-27

⇥

- 27 + 9

⇥ⓘ Partimos de

-27

y avanzamos

9

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 27 + 9

-18

⇥

-18

La ordenada es f(

3

) =

-18

El polinomio tiende a +∞ en ambos infinitos: este único extremo local también es global

▶Extremos locales estrictos:

{(3; -18)}