extremos x-8/(x^2) — solución paso a paso

1) Busquemos los extremos locales estrictos de

x - \frac{8}{x^{2}}

: son los puntos del dominio donde su derivada cambia de signo

⇥Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{16}{x^{3}} + 1

⇥⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{16}{x^{3}} + 1 = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos miembros por

x^{3}

, no nulo para que las fracciones estén definidas

⇥⇥

\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3} + x^{3} = 0 \cdot x^{3}

⇥⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}

\frac{16 x^{3}}{x^{3}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x^{3}

\frac{16 x^{3}}{x^{3}}

16

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x^{3}

0

⇥⇥ⅰ

\frac{16}{x^{3}} + 1

16 + x^{3}

⇥⇥

16 + x^{3} = 0

⇥⇥Tomamos la raíz:

- \sqrt[3]{16} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

. Como la potencia es impar,

x^{3} = -16

tiene una única solución real,

- 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥⇥1.2) Busquemos el dominio de

\frac{16}{x^{3}} + 1 = 0

⇥⇥ Para que la expresión

\frac{16}{x^{3}}

esté definida, debe cumplirse:

x^{3} \neq 0

⇥⇥

x^{3} \neq 0

implica:

x \neq 0

⇥⇥Restricciones del dominio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

se anula en

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

⇥

f^{'} (-3) = \frac{11}{27}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; - 2 \cdot \sqrt[3]{2} [

⇥

f^{'} (-1) = -15

< 0:

f

es decreciente en

] - 2 \cdot \sqrt[3]{2}; 0 [

⇥

f^{'} (1) = 17

> 0:

f

es creciente en

] 0; +∞ [

⇥Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

⇥Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

⇥

f (- 2 \cdot \sqrt[3]{2}) = - 2 \cdot \sqrt[3]{2} - \frac{8}{{(- 2 \cdot \sqrt[3]{2})}^{2}} = - 3 \cdot \sqrt[3]{2}

⇥Cuando

x

se acerca a

0

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

-∞

⇥Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

⇥Construyamos la tabla de variación:

⇥

$x$	$-∞$		$- 2 \cdot \sqrt[3]{2}$		$0$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$- 3 \cdot \sqrt[3]{2}$	↘	$-∞$ ‖ $-∞$	↗	$+∞$

⇥Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; - 2 \cdot \sqrt[3]{2}]

, decreciente en

[- 2 \cdot \sqrt[3]{2}; 0 [

y creciente en

] 0; +∞ [

x = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}

f

' pasa de + a -:

f

tiene un máximo local estricto,

f (- 2 \cdot \sqrt[3]{2}) = - 3 \cdot \sqrt[3]{2}

▶Extremos locales estrictos:

{(- 2 \cdot \sqrt[3]{2}; - 3 \cdot \sqrt[3]{2})}