1) Factoricemos en $ℝ$: $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$

⇥1.1) Probemos la solución evidente: $x=-11$

⇥Calculemos el valor de: $11·{\left(-11\right)}^3$$+125·{\left(-11\right)}^2$$+45·\left(-11\right)$$+11$

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido: ${\left(-11\right)}^3$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $-1331$, ${\left(-11\right)}^2$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $121$■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo: $45·\left(-11\right)$ = $-45·11$ = $-45·(10+1)$ = $-(45·10+45)$ = $-(450+45)$ = $-495$

⇥ $11·\left(-1331\right)$$+125·121$$-495$$+11$

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo: $11·\left(-1331\right)$ = $-11·1331$ = $-(10+1)·1331$ = $-(10·1331+1331)$ = $-(\mathrm{13\; 310}+1331)$ = $\mathrm{-14\; 641}$■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas: $125·121$ = $125·(100+20+1)$ = $125·100+125·20+125$ = $\mathrm{12\; 500}+2500+125$ = $\mathrm{15\; 125}$■Partimos de $-495$ y avanzamos $11$ en la recta numérica, acercándonos al cero: $-495+11$ = $-484$

⇥ $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}-484$

⇥ⓘ Partimos de $\mathrm{-14\; 641}$ y avanzamos $\mathrm{15\; 125}$ en la recta numérica, pasando por encima del cero: $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}$ = $484$

⇥ $484-484$

⇥ⓘ Partimos de $484$ y retrocedemos $484$ en la recta numérica, hasta el cero: $484-484$ = $0$

⇥ $0$

⇥Raíz encontrada: $x=-11$

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de $(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)$ entre $(x+11)$

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$	$\frac{11x^3}{x}$	$11x^2$	$11x^2·(x+11)=11x^3+121x^2$	$(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)-(11x^3+121x^2)=4x^2+45x+11$
$4x^2+45x+11$	$\frac{4x^2}{x}$	$4x$	$4x·(x+11)=4x^2+44x$	$(4x^2+45x+11)-(4x^2+44x)=x+11$
$x+11$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x+11=x+11$	$(x+11)-(x+11)=0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es: $11x^2+4x+1$

ⅰ $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$ = $(x+11)·(11x^2+4x+1)$

▶Expresión factorizada:   $(x+11)·(11x^2+4x+1)$